Calculs de surfaces et de volumes

Souvent oubliées par les élèves, ces formules sont primordiales et très souvent utilisées en géométrie classique, du collège au lycée.
22

Même si l'on apprend un peu plus tard dans le cursus scientifique que toutes ces formules sont facilement retrouvables grâce au calcul intégral, double pour les surfaces, triple pour les volumes, il est important d'en retenir le plus possible par cœur pour ne pas perdre de temps à les retrouver. Voici donc les formules les plus utilisées de calcul d'aires et de volumes.

Les surfaces usuelles

  • Le carré de côté a : S=a²
  • Le rectangle de longueur L et de largeur l : S=L*l
  • Le triangle de base b et de hauteur h : S=(b*h)/2
  • Le disque de rayon r : S=πr²

L es volumes usuels

  • Le cube d'arête a : V=a^3
  • Le parallélépipède rectangle ou pavé de longueur L, largeur l et hauteur h: V=L*l*h
  • Le prisme droit de surface de base B et de hauteur h : V=B*h
  • Le cylindre de rayon r et de hauteur h: V= πr²*h
  • La boule de rayon r : V=(4/3)*πr^3

Les surfaces moins usuelles

  • Le losange de diagonales D et d : S=(D*d)/2
  • Le parallélogramme de base b et de hauteur h : S=b*h
  • Le trapèze de bases B et b et de hauteur h : S=h*(B+b)/2
  • Un secteur angulaire d'angle au sommet x dans un cercle de rayon r : S=(πr²)*(x/360)
  • L'ellipse de grand axe A et de petit axe a : S=π*A*a
  • Toute surface de polygone est facilement calculable en le décomposant en triangles grâce aux diagonales intérieures.

Les volumes moins usuels

  • Le tétraèdre d'arête a : V=(sqr(2)/12)*a^3
  • L'octaèdre d'arête a : V=(sqr(2)/3)*a^3
  • Le cône de base de rayon r et de hauteur h : V=(1/3)*πr²*h
  • Un ellipsoïde d'axes a, b et c : V=(4/3)*π*a*b*c

Le calcul intégral

Pour retrouver la valeur d'une surface ou d'un volume, il vous suffit de découper de façon infinitésimale votre espace à analyser. Pour ce faire, il vous faut déjà créer un paramétrage définissant de façon exhaustive votre objet. On prendra les coordonnées cartésiennes classiques pour les polyèdres {x;y;z}, les coordonnées cylindriques pour les cylindres {r;θ;z} et les coordonnées sphériques pour les objets sphériques {r;θ;φ}.

Ensuite, il vous faudra traduire un déplacement infinitésimal dans chacune des directions associées au paramétrage choisi. Par exemple, un déplacement vertical avec les coordonnées cartésiennes se notera dz et un déplacement infinitésimal radial sera égal à r*sinφ*dθ avec les coordonnées sphériques. Ainsi, les volumes infinitésimaux correspondant aux trois types de paramétrages sont:

  • dV=dx*dy*dz pour le paramétrage cartésien
  • dV=r*dθ*dr*dz pour le paramétrage cylindrique
  • dV=r²sinφ*dθ*dr*dφ pour le paramétrage sphérique
Enfin, la dernière étape est d'effectuer le calcul intégral, triple pour un volume, en respectant les bornes de chaque paramètre, correspondant aux limites de l'objet analysé.
Sphère

Sur le même sujet